jueves, 27 de julio de 2017

Sistema lineal e invariante en el tiempo o LTI

Modelado de un sistema mecánico o eléctrico usando Ecuaciones Diferenciales Ordinarias . Estamos interesados ​​en cómo se mueve la masa naranja; el resorte está fijado a la pared y en el extremo lejano la masas se está moviendo.
  1. Dibuja un diagrama del sistema.
  2. Identificar y dar símbolos para los parámetros del sistema con unidades.
  3. Declare la señal de entrada y la respuesta del sistema. 
  4. Decida lo que está buscando: una solución que satisface condiciones iniciales específicas o una solución en estado estacionario. 
  5. Anote una ecuación diferencial que relacione la señal de entrada y la respuesta del sistema, por ejemplo, usando el "F=m.a" (para el caso mecánico o las leyes de Kirchhoff en el caso eléctrico). 
  6. Vuelva a escribir la ecuación en forma estándar.
Desarrollo.
1 y 2. - Diagrama con los parámetros relevantes del sistema, en el diagrama: m, b y k; m puede tomar valores distintos a 1,0, pero suponemos m = 1.
3.- La señal de entrada viene dada por la posición del pistón; escribiremos y(t) o solo y para ésta función del tiempo. Hacemos algunas declaraciones arbitrarias, entre ellas: 
Se declara cuál es la dirección positiva para y: Su valor aumenta cuando el pistón se mueve hacia arriba. La respuesta del sistema que nos interesa es la posición de la masa, que escribiremos x(t); su valor también aumenta a medida que la masa avanza. También declaramos x=0 por ser la posición en la que el resorte está relajado en estado de equilibrio. Así, cuando x>0 el resorte se comprime y ejerce una fuerza apuntando hacia abajo, mientras que si x<0 el resorte se extiende y ejerce una fuerza que apunta hacia arriba.
4.-  Suponemos que estamos trabajando en régimen lineal; es decir, asumimos que la fuerza del resorte sobre la masa es proporcional a x (el desplazamiento debe ser lo suficientemente pequeño para que se cumpla la ley de Hooke; sin que el resorte llegue a deformarse). Asumimos también que la fuerza ejercida por el amortiguador sobre la masa es proporcional a la velocidad; dx/dt  y dy/dt son lo suficientemente pequeñas para que el efecto del amortiguador sea lineal. La "Ley de Hooke" dice:  la fuerza ejercida por el resorte es proporcional al desplazamiento x. La fuerza ejercida sobre la masa por el amortiguador es proporcional a la velocidad a la que el émbolo se mueve a través del pistón. Las dos constantes de proporcionalidad so: k y b; utilizando la Ley de Newton" resulta:
$$m\ddot x=F=-kx-b(\dot x-\dot y)\,$$
5.- La "forma estándar" significa: términos procedentes de la señal de entrada a la derecha y términos procedentes de la respuesta del sistema a la izquierda. Entonces tenemos:
$$m\ddot x+b\dot x+kx=b\dot y\,$$
 Esta es la ecuación diferencial que relaciona la señal de entrada y y la respuesta del sistema x. Es válido si la señal de entrada es sinusoidal o no, y permite las respuestas del sistema no sinusoidales.

El modelo refleja las suposiciones de que podríamos usar leyes permitidas para fuerza lineal. En este proceso de modelado no necesitamos asumir que m, b y k. sean constantes. Pero observaremos este sistema en una escala de tiempo lo suficientemente pequeña como para suponer que esos parámetros sean constantes.

Con el cumplimiento de estos dos supuestos (juntos) obtendremos una ecuación diferencial ordinaria lineal con coeficientes constantes . Un sistema que exhibe estas dos hipótesis se denomina un sistema  lineal e invariante en el tiempo o LTI .


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