viernes, 26 de febrero de 2016

La raíz cuadrada de dos —sumerios, babilonios y griegos—.

Los recuerdos de la infancia, que, en mi caso se remontan a media centena de años, parecen tan distantes. Aprender la cartilla con letras y números; sólo 28 caracteres latinos y una decena de caracteres numéricos de origen indo arábigos —memorizarlos fue toda una proeza entre aquel cúmulo de primeros aprendizajes—. Luego los conjuntos, la geometría y la aritmética (en la edad escolar) y después los polinomios, vectores, funciones, y las matrices... y luego todo lo demás, pasando por el cálculo diferencial integral, los tensores y la notación de Dirac; entro otros. Pero he regresado a Pitágoras y a su pretérito, en la búsqueda de lo fundamental. He vuelto sobre los pasos andados, he cruzado más allá de la individualidad y de las épocas recientes, me interesa las mocedades de la humanidad, ¿Cuándo se inició el hombre con los números? ¿Cómo fueron sus primeros avances? ¿Se perdió parte de lo que ya habíamos descubierto y hubo que redescubrirlo? ¿Qué perdimos?; … son estas algunas de las interrogantes, que sin atormentar ... perturban.

Los sumerios, asirios y babilónicos (xSAB; para generalizarlos: ellos y otros pueblos de la antigua Mesopotamia): cuatro milenios antes de nuestro presente; tres mil años antes del período oscuro de la humanidad, dos mil años antes de Roma, mil años antes del esplendor griego ... inventaron la escritura y otros tantos artificios tecnológicos, que soportan gran parte de las actividades humana moderna. Entre muchas variaciones, desarrollaron la escritura cuneiforme, la base numérica sexagesimal, conocieron y emplearon el cero; juntaron una muy buena parte del conocimiento matemático que aún se enseña en escuelas, liceos y universidades; todo eso antes de que Alejandro Magno esparciera por el mundo conocido y conquistado el conocimiento; heredado y racionalizado por los griegos — el helenismo aun insiste en alcanzar conquistas, principalmente en occidente —.


Imagen 1.- Caracteres cuneiformes del segundo milenio Babilónico.     2.- La pieza redonda de arcilla YBC7289, fechada entre 1800 y 1600 AC. (Colección de la Universidad de Yale fuente: https://www.math.ubc.ca/~cass/Euclid/ybc/ybc.html).

El impulso científico de la cultura xSAB, inició el despliegue humano en todos los saberes: las bellas artes, el derecho, la organización social, la habitación humana, la estructura de sus conglomerados, la agricultura, la astrología (madre de la astronomía), etc.; pero principalmente las matemáticas. Al parecer, son muchas las maravillas que debemos a las culturas xSAB, mucho más que los reconocidos Jardines Colgantes o la Torre de Babilonia.

Aunque la gran mayoría de los algoritmos y demostraciones utilizados en la antigüedad, se encuentran extraviados, dispersos, o mal indexados en lo que respecta a su origen; algunos ejemplos del campo de la teoría de los números pueden ilustrarnos:


La raíz cuadrada de 2 (Ã)


Alrededor de 1912, un agente del banco J. P. Morgan, adquirió una pieza del segundo milenio babilónico (actual Iraq; forma parte de la Colección de la Universidad de Yale; código YBC 7289). Contiene una estimación de Ã; a partir de un cuadrado con diagonales interceptas. Muestra quizás la mejor aproximación para Ã disponible en su presente (tres cifras sexagesimales; equivalentes a cinco decimales); manteniendo su vigencia, luego del razonamiento numérico griego.

La YBC7289, pieza circular de arcilla del antiguo período babilónico (2000–1600 OB), contiene un cuadrado donde se han resaltados sus diagonales. Sobre uno de los lados está escrito los símbolos cuneiformes 30 (sexagesimal; b60) y a lo largo de una de las diagonales el número 1;24,51,10b60 y debajo el número 42;25,35b60.

Se puede verificar que 30 veces el número 1;24,51,10b60 tiene como resulta el número 42;25,35b60. Es sencillo el cálculo, si primero convertimos los números a decimal; o por el recíproco sexagesimal de 30, que es 2 (en base 60: (30/60)-1 = 2), igualmente se verifica que 42;25,35b60 veces el recíproco sexagesimal 2, da como resultado el número 1;24,51,10b60.

í­
Número
b600
b60-1
b60-2
b60-3
Sexagesimal
à≈ 1;24,51,10
1
24
51
10
Decimal
à≈ 1,414212
1
0,4000000
0,014166
0,000046





N = 30 Ã
Número
b600
b60-1
b60-2
Sexagesimal
1/à≈  42;25,35
42
25
35
Decimal
60/à≈  42,426388
42
0,416666
0,009722






El anuncio del descubrimiento de la YBC 7289 se hizo en términos de los números recíprocos; debido a la importancia del recíproco en la antigua Babilonia: “una lenticular tabla de estudio con un dibujo geométrico mostrando una muy buena aproximación de  Ã ≈ 1;24, 51, 10 [y  1/à≈ [.]42 25 35].’’ (Friberg, 1982). Sin embargo, actualmente es aceptada la interpretación geométrica para el número inferior en la tabla de arcilla: 30à. Se puede verificar que la diagonal de un cuadrado de lado l=30 es 42,426388 y que normalizando el cuadrado (l=1) utilizando la fórmula erróneamente atribuida a Pitágoras, la diagonal tendrá exactamente el valor Ã;  en base a la evidencia mostrada en la YB7289.


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à; Babilonia 3600 años A.P.

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